Martin Gardner - μαθηματικά θαύματα και μυστήρια. Μάρτιν Γκάρντνερ

Όπως πολλά άλλα θέματα στη διασταύρωση δύο κλάδων, τα μαθηματικά μαγικά κόλπα δεν τυγχάνουν ιδιαίτερης προσοχής ούτε από μαθηματικούς ούτε από μάγους. Οι πρώτοι τείνουν να τις βλέπουν ως κενή διασκέδαση, οι δεύτεροι τις παραμελούν ως πολύ βαρετές. Τα μαθηματικά μαγικά κόλπα, ειλικρινά, δεν ανήκουν στην κατηγορία των μαγικών κόλπων που μπορούν να κρατήσουν μαγεμένο ένα κοινό από μη μαθηματικά εξελιγμένο κοινό. Τέτοια κόλπα είναι συνήθως χρονοβόρα και όχι πολύ αποτελεσματικά. Από την άλλη πλευρά, δεν υπάρχει σχεδόν κανένας άνθρωπος που πρόκειται να αντλήσει βαθιές μαθηματικές αλήθειες από τον στοχασμό του.
Κι όμως, τα μαθηματικά κόλπα, όπως το σκάκι, έχουν τη δική τους ιδιαίτερη γοητεία. Το σκάκι συνδυάζει τη χάρη της μαθηματικής κατασκευής με την ευχαρίστηση που μπορεί να φέρει το παιχνίδι. Στα μαθηματικά κόλπα, η κομψότητα των μαθηματικών κατασκευών συνδυάζεται με τη διασκέδαση. Δεν προκαλεί έκπληξη, επομένως, ότι προσφέρουν τη μεγαλύτερη ευχαρίστηση σε αυτόν που είναι ταυτόχρονα εξοικειωμένος και με τους δύο αυτούς τομείς.
Αυτό το βιβλίο είναι, απ' όσο γνωρίζω, η πρώτη απόπειρα επισκόπησης ολόκληρου του πεδίου της σύγχρονης μαθηματικής εστίασης. Το μεγαλύτερο μέρος του υλικού του βιβλίου προέρχεται από εξειδικευμένη λογοτεχνία αφιερωμένη σε μαγικά κόλπα και όχι από ψυχαγωγική μαθηματική λογοτεχνία. Για το λόγο αυτό, όσοι έχουν μελετήσει τη διασκεδαστική μαθηματική βιβλιογραφία αλλά δεν είναι εξοικειωμένοι με τη σύγχρονη εξειδικευμένη βιβλιογραφία για τα μαγικά κόλπα είναι πιθανό να βρουν σε αυτό το βιβλίο μια νέα περιοχή ψυχαγωγικής γνώσης - ένα νέο πλούσιο πεδίο, η ύπαρξη του οποίου μπορεί να έχουν πλήρη άγνοια.

Πρόλογος του συντάκτη στη ρωσική έκδοση
Από τον πρόλογο του συγγραφέα
Κεφάλαιο ένα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΣΤΙΑΣΗ ΜΕ ΚΑΡΤΕΣ
Πέντε στοίβες από χαρτιά (9).
Οι κάρτες ως μονάδες μέτρησης. Μαντεύοντας τον αριθμό των φύλλων που βγήκαν από την τράπουλα (10). Χρήση αριθμητικών τιμών καρτών
Εστίαση με τέσσερα φύλλα (11). Καταπληκτική πρόβλεψη (12). Εστίαση με μια σχεδιασμένη κάρτα (13). Κυκλικός αριθμός (14). Λείπει η κάρτα (15).
Μαγικά κόλπα με βάση τη διαφορά στα χρώματα και τα κοστούμια Trick with kings and queens (19). Χρήση της μπροστινής και της πίσω πλευράς των καρτών. Σύγκριση του αριθμού των φύλλων του μαύρου και του κόκκινου χρώματος (20). Κόλπο με αναστροφή καρτών (20).
Κόλπα ανάλογα με την αρχική θέση των φύλλων στην τράπουλα
Κόλπο με τέσσερις άσσους (21). «Μανχάταν Wonders» (22). Πόσες κάρτες έχουν μεταφερθεί; (22). Εστίαση στην εύρεση ενός χάρτη (23).
Κεφάλαιο δυο
ΕΠΙΚΕΝΤΡΩΣΗ ΜΕ ΜΙΚΡΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ
Ζάρια
Μαντεύοντας το άθροισμα (25). Μαντεύοντας τον αριθμό των πόντων που χάθηκαν (27).
Αλυσίδα Domino με διάλειμμα (27). Μια σειρά από δεκατρείς σπόρους (28).
Ημερολόγια. Μυστηριώδη τετράγωνα (29). Εστίαση με σημειωμένες ημερομηνίες (29). Πρόβλεψη (30).
Παρακολουθώ. Μαντεύοντας τον επιθυμητό αριθμό στον επιλογέα (31). Κόλπο με ρολόι και ζάρια (32).
Αγώνες. Τρεις σωροί σπίρτα (33). Πόσα σπίρτα έχεις στη γροθιά σου;
(34). Ποιος πήρε τι; (34). Mysterious Nine νομίσματα (36). Σε ποιο χέρι είναι το κέρμα; (36). Εθνόσημο ή «δικτυωτό» (37). Σκακιέρα. Κόλπο με τρία πούλια (38) Μικρά αντικείμενα. Κόλπο τριών στοιχείων (39). Κόλπο με το να μαντέψετε ένα από τα τέσσερα αντικείμενα (40).
Κεφάλαιο τρίτο
ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΠΑΖΛ
Δακτύλιοι από χαρτί (44).
Κόλπα με μαντήλι
Κόλπο κοπής δακτύλων (48). Κόλπο με κασκόλ που συμπλέκονται (50). Το πρόβλημα του δέσιμου κόμπων (51).
Κορδόνια και κορδόνια
Μαγικά κόλπα με κορδόνι ή σπάγκο (52). Άλλα κόλπα με κορδόνι (56).
είδη ένδυσης
Μυστηριώδης θηλιά (58). Γυρίζοντας το γιλέκο από μέσα προς τα έξω (59). Αφαίρεση του γιλέκου (60).
Δακτύλιοι από καουτσούκ Δαχτυλίδι κύλισης (60). Στριφτός δακτύλιος (61).
Κεφάλαιο τέσσερα
ΕΣΤΙΑΖΕΤΑΙ ΜΕ ΕΙΔΙΚΟ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟ
Αριθμητικές κάρτες (64). Τρύπες (65). Κόλπα με «αφή»
Εστίαση με έξι τετράγωνα (66). Έγχρωμη κάρτα (67).
Σκέψου ζώο (69). Μαγικά κόλπα με ζάρια και ντόμινο 70. Μαγικά κόλπα με τριψήφιους αριθμούς (70). Κουτί εστίασης με ντόμινο (70). Κόλπο με μάρκες (71).
Κεφάλαιο πέμπτο
ΕΞΑΦΑΝΙΣΗ Φιγούρων. ΕΝΟΤΗΤΑ Ι
Το παράδοξο της γραμμής (73). Εξαφάνιση του προσώπου (75). «Ο εξαφανιζόμενος πολεμιστής» (76). Το χαμένο κουνέλι (78).
Κεφάλαιο έκτο
ΕΞΑΦΑΝΙΣΗ Φιγούρων. ΕΝΟΤΗΤΑ II
The Chessboard Paradox (79). Το παράδοξο με την περιοχή (81). Τετράγωνη παραλλαγή (82). Αριθμοί Fibonacci (83).
Έκδοση με ορθογώνιο (85). Μια άλλη εκδοχή του παραδόξου (87). Τρίγωνο επιλογή (90). Τετράγωνα τετράγωνα (93). Τετράγωνα τριών τεμαχίων (95). Τετράγωνα δύο τεμαχίων (95). Καμπυλόγραμμες και τρισδιάστατες επιλογές (96).
Κεφάλαιο έβδομο
ΠΑΖΛ ΜΕ ΣΥΜΠΛΕΩΜΕΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
Γρήγορη εξαγωγή ρίζας κύβου (98). Πρόσθεση αριθμών Fibonacci (100). Πρόβλεψη του αριθμού (101). Μαντεύοντας τον αριθμό (102). The Mystery of the Nine (105). Ψηφιακές ρίζες (105). Σταθερότητα της ψηφιακής ρίζας (107). Μαντεύοντας την ηλικία (108). Εστίαση με προσθήκη (109). Εστίαση με πολλαπλασιασμό (109). The Mystery of the Seven (100). Πρόβλεψη αθροίσματος (112). «Ψυχολογικές στιγμές» (114).
Σημειώσεις του συντάκτη

Γκάρντνερ Μάρτιν

"ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΥΣΤΗΡΙΑ"

Πρόλογος του συντάκτη στη ρωσική έκδοση

Αυτό είναι ένα κανονικό πλέγμα σκακιού 64 τετραγώνων. Μπροστά στα μάτια σας γίνονται αρκετές τομές και από τα μέρη που προκύπτουν γίνεται ένα ορθογώνιο, στο οποίο όμως υπάρχουν μόνο 63 κελιά!

Έχετε συλλάβει έναν αριθμό - έναν από αυτούς που είναι γραμμένοι στις κάρτες που είναι διάσπαρτες γύρω από το τραπέζι. Ο σύντροφός σας αγγίζει εναλλάξ τις κάρτες με έναν δείκτη και αυτή τη στιγμή γράφεις τον προγραμματισμένο αριθμό στον εαυτό σου και όταν φτάσεις στο τελευταίο γράμμα, ο δείκτης σταματά ακριβώς στον αριθμό σου!

Μαγικά κόλπα? Ναι, αν σας αρέσει? ή, καλύτερα να πούμε, πειράματα βασισμένα στα μαθηματικά, στις ιδιότητες των ψηφίων και των αριθμών, και μόνο με μια κάπως υπερβολική μορφή. Και για να κατανοήσουμε την ουσία αυτού ή εκείνου του πειράματος σημαίνει να κατανοήσουμε, αν και μικρή, αλλά ακριβή μαθηματική κανονικότητα.

Αυτά τα κρυμμένα μαθηματικά είναι που κάνουν το βιβλίο του Μάρτιν Γκάρντνερ ενδιαφέρον. Κρυφό - γιατί ως επί το πλείστον ο ίδιος ο συγγραφέας δεν διατυπώνει στη γλώσσα των μαθηματικών τους νόμους που διέπουν τα πειράματά του, περιοριζόμενος στην περιγραφή των ενεργειών του αποκαλυπτικού, του ρητού και του μυστικού. αλλά ο αναγνώστης που είναι εξοικειωμένος με τα στοιχεία της σχολικής άλγεβρας και της γεωμετρίας θα χαρεί αναμφίβολα να ανασκευάσει την αντίστοιχη αλγεβρική ή γεωμετρική ιδέα από τις εξηγήσεις του συγγραφέα. Ωστόσο, σε μερικές πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις (σημειωμένες με αριθμούς με παρένθεση), επιτρέψαμε στον εαυτό μας να συνοδεύσει την παρουσίαση του συγγραφέα με μικρές σημειώσεις που αποκαλύπτουν τη μαθηματική ουσία των κατασκευών του, αυτές οι σημειώσεις τοποθετούνται στο τέλος του βιβλίου.

Τα μαθηματικά κόλπα είναι μια πολύ περίεργη μορφή επίδειξης μαθηματικών προτύπων.

Εάν κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής παρουσίασης προσπαθούν για τη μεγαλύτερη δυνατή αποκάλυψη της ιδέας, τότε εδώ, για να επιτύχουν αποτελεσματικότητα και ψυχαγωγία, αντιθέτως, συγκαλύπτουν την ουσία του θέματος όσο το δυνατόν πιο έξυπνα. Γι' αυτό, αντί για αφηρημένους αριθμούς, χρησιμοποιούνται τόσο συχνά διάφορα αντικείμενα ή σύνολα αντικειμένων που σχετίζονται με αριθμούς: ντόμινο, αγώνες, ρολόγια, ημερολόγιο, νομίσματα, ακόμη και κάρτες (φυσικά, αυτή η χρήση των καρτών δεν έχει καμία σχέση με το ανούσιο χόμπι των τζογαδόρων· όπως επισημαίνει ο συγγραφέας, εδώ οι κάρτες θεωρούνται απλώς πανομοιότυπα αντικείμενα που είναι βολικό να μετρηθούν· οι εικόνες σε αυτές δεν παίζουν κανένα ρόλο σε αυτό - ").

Ελπίζουμε ότι το βιβλίο του Gardner θα ενδιαφέρει πολλούς αναγνώστες: νεαροί συμμετέχοντες σε σόλο μαθηματικούς κύκλους, ενήλικες «αποδιοργανωμένοι» ερασιτέχνες των μαθηματικών ή ίσως ένα ή άλλο από τα πειράματα που περιγράφονται εδώ θα ξυπνήσουν ένα χαμόγελο από έναν σοβαρό επιστήμονα σε σύντομο χρονικό διάστημα ξεκούραση από την πολλή δουλειά.

G. E. Shilov

Όπως πολλά άλλα θέματα στη διασταύρωση δύο κλάδων, τα μαθηματικά μαγικά κόλπα δεν τυγχάνουν ιδιαίτερης προσοχής ούτε από μαθηματικούς ούτε από μάγους. Οι πρώτοι τείνουν να τις βλέπουν ως κενή διασκέδαση, οι δεύτεροι τις παραμελούν ως πολύ βαρετές. Τα μαθηματικά μαγικά κόλπα, ειλικρινά, δεν ανήκουν στην κατηγορία των μαγικών κόλπων που μπορούν να κρατήσουν μαγεμένο ένα κοινό από μη μαθηματικά εξελιγμένο κοινό. Τέτοια κόλπα είναι συνήθως χρονοβόρα και όχι πολύ αποτελεσματικά. Από την άλλη πλευρά, δεν υπάρχει σχεδόν κανένας άνθρωπος που πρόκειται να αντλήσει βαθιές μαθηματικές αλήθειες από τον στοχασμό του.

Κι όμως, τα μαθηματικά κόλπα, όπως το σκάκι, έχουν τη δική τους ιδιαίτερη γοητεία. Το σκάκι συνδυάζει τη χάρη της μαθηματικής κατασκευής με την ευχαρίστηση που μπορεί να φέρει το παιχνίδι. Στα μαθηματικά κόλπα, η κομψότητα των μαθηματικών κατασκευών συνδυάζεται με τη διασκέδαση. Δεν προκαλεί έκπληξη, επομένως, ότι προσφέρουν τη μεγαλύτερη ευχαρίστηση σε αυτόν που είναι ταυτόχρονα εξοικειωμένος και με τους δύο αυτούς τομείς.

Αυτό το βιβλίο είναι, απ' όσο γνωρίζω, η πρώτη απόπειρα επισκόπησης ολόκληρου του πεδίου της σύγχρονης μαθηματικής εστίασης. Το μεγαλύτερο μέρος του υλικού του βιβλίου προέρχεται από εξειδικευμένη λογοτεχνία αφιερωμένη σε μαγικά κόλπα και όχι από ψυχαγωγική μαθηματική λογοτεχνία. Για το λόγο αυτό, όσοι έχουν μελετήσει τη διασκεδαστική μαθηματική βιβλιογραφία αλλά δεν είναι εξοικειωμένοι με τη σύγχρονη εξειδικευμένη βιβλιογραφία για τα μαγικά κόλπα είναι πιθανό να βρουν σε αυτό το βιβλίο μια νέα περιοχή ψυχαγωγικής γνώσης - ένα νέο πλούσιο πεδίο, η ύπαρξη του οποίου μπορεί να έχουν πλήρη άγνοια.

Νέα Υόρκη, 1955

Μάρτιν Γκάρντνερ

Κεφάλαιο ένα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΣΤΙΑΣΗ ΜΕ ΚΑΡΤΕΣ

Τα τραπουλόχαρτα έχουν ορισμένες συγκεκριμένες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν όταν κάνετε κόλπα μαθηματικού χαρακτήρα. Θα απαριθμήσουμε πέντε τέτοια ακίνητα.

1. Οι κάρτες μπορούν να θεωρηθούν απλά ως πανομοιότυπα αντικείμενα που είναι βολικό να μετρηθούν. οι εικόνες πάνω τους δεν παίζουν κανένα ρόλο σε αυτό.

Θα μπορούσατε εξίσου να έχετε χρησιμοποιήσει βότσαλα, σπίρτα ή κομμάτια χαρτιού.

2. Στις κάρτες μπορούν να εκχωρηθούν αριθμητικές τιμές από το 1 έως το 13, ανάλογα με το τι απεικονίζεται στην μπροστινή τους πλευρά (σε αυτή την περίπτωση, το jack, το queen και το king λαμβάνονται ως 11, 12 και 13, αντίστοιχα)).

3. Μπορούν να χωριστούν σε τέσσερα κοστούμια ή μαύρες και κόκκινες κάρτες.

4. Κάθε κάρτα έχει ένα μπροστινό και ένα πίσω μέρος.

5. Οι κάρτες είναι συμπαγείς και ομοιόμορφες σε μέγεθος. Αυτό σας επιτρέπει να τα τακτοποιήσετε με διαφορετικούς τρόπους, ομαδοποιώντας σε σειρές ή κάνοντας στοίβες, κάτι που μπορεί εύκολα να απογοητευτεί αμέσως ανακατεύοντας απλά τις κάρτες.

Με τόσες πολλές δυνατότητες, τα κόλπα με κάρτες θα έπρεπε να υπάρχουν εδώ και πολύ καιρό και το μαθηματικό κόλπο με τις κάρτες είναι σίγουρα τόσο παλιό όσο και το ίδιο το παιχνίδι με κάρτες.

Προφανώς η πρώτη συζήτηση για κόλπα με κάρτες από έναν μαθηματικό βρίσκεται στο διασκεδαστικό βιβλίο του Claude, Gaspard Basche ( Claud Gaspard Bachet«Problemes plaisants et delectables»), που δημοσιεύτηκε στη Γαλλία το 1612. Στη συνέχεια, αναφορές σε κόλπα με κάρτες εμφανίστηκαν σε πολλά βιβλία αφιερωμένα στη μαθηματική ψυχαγωγία.

Ο πρώτος και ίσως ο μοναδικός φιλόσοφος που καταδέχτηκε να σκεφτεί κόλπα με χαρτιά ήταν ο Αμερικανός Τσαρλς Πιρς. Σε ένα άρθρο του, παραδέχεται ότι το 1860 «επινόησε» αρκετά εξαιρετικά κόλπα με χαρτιά βασισμένα, χρησιμοποιώντας την ορολογία του, στην «κυκλική αριθμητική». Περιγράφει αναλυτικά δύο τέτοια κόλπα με την ονομασία «πρώτη περιέργεια» και «δεύτερες περιέργειες».

Η πρώτη περιέργεια βασίζεται στο θεώρημα του Fermat. Χρειάστηκαν 13 σελίδες για να περιγραφεί ακριβώς πώς αποδείχθηκε και 52 επιπλέον σελίδες για να εξηγηθεί η ουσία του. Και ενώ ο Peirce αναφέρει "το συνεχές ενδιαφέρον και την έκπληξη του κοινού" που προκαλείται από την εστίασή του, το αποκορύφωμα αυτής της εστίασης φαίνεται τόσο άσχετο με την πολυπλοκότητα των προετοιμασιών που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι το κοινό δεν αποκοιμήθηκε πολύ πριν το τέλος της επίδειξής του.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα του πώς, ως αποτέλεσμα της τροποποίησης του τρόπου εμφάνισης ενός παλιού κόλπου, η διασκέδασή του έχει αυξηθεί πάρα πολύ.

Δεκαέξι φύλλα απλώνονται στο τραπέζι κλειστά σε ένα τετράγωνο τεσσάρων φύλλων στη σειρά. Κάποιος καλείται να σκεφτεί ένα φύλλο και να πει στην εμφάνιση σε ποια κάθετη σειρά βρίσκεται. Στη συνέχεια, οι κάρτες συλλέγονται με το δεξί χέρι κατά μήκος των κάθετων σειρών και διπλώνονται διαδοχικά στο αριστερό χέρι. Μετά από αυτό, οι κάρτες τοποθετούνται ξανά με τη μορφή τετραγώνου διαδοχικά οριζόντια. Έτσι, τα φύλλα που είχαν αρχικά τοποθετηθεί στην ίδια κάθετη σειρά εμφανίζονται τώρα στην ίδια οριζόντια σειρά. Ο διαδηλωτής πρέπει να θυμάται ποια από αυτές περιέχει την κάρτα που σχεδιάστηκε τώρα. Στη συνέχεια, ζητείται από τον θεατή να υποδείξει για άλλη μια φορά σε ποια κάθετη σειρά βλέπει την κάρτα του. Είναι σαφές ότι μετά από αυτό η εμφάνιση μπορεί αμέσως να υποδείξει τη σχεδιαζόμενη κάρτα, η οποία θα βρίσκεται στη διασταύρωση της μόλις ονομαζόμενης κάθετης σειράς και της οριζόντιας σειράς , στο οποίο, όπως γνωρίζετε, θα έπρεπε να είναι. Η επιτυχία αυτού του κόλπου, φυσικά, εξαρτάται από το αν ο θεατής παρακολουθεί τη διαδικασία αρκετά στενά για να διακρίνει την ουσία του θέματος.

Πέντε στοίβες από χαρτιά

Τώρα ας σας πούμε πώς χρησιμοποιείται αυτή η ίδια αρχή σε άλλη περίπτωση.

Ο εκθέτης κάθεται στο τραπέζι με τέσσερις θεατές. Μοιράζει το καθένα (συμπεριλαμβανομένου του εαυτού του) πέντε φύλλα, καλεί όλους να τα κοιτάξουν και να σκεφτούν ένα. Μετά μαζεύει τα χαρτιά, τα βάζει στο τραπέζι σε πέντε στοίβες και ζητά από κάποιον να του δείξει ένα από αυτά. Στη συνέχεια, παίρνει αυτό το σωρό στα χέρια του, αποκαλύπτει τις κάρτες σε έναν οπαδό, στραμμένο προς το κοινό, και ρωτά αν κάποιος από αυτούς βλέπει το φύλλο που προορίζεται. Αν ναι, τότε το show (χωρίς να κοιτάξει ποτέ τις κάρτες) το βγάζει αμέσως. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται με κάθε στοίβα μέχρι να βρεθούν όλα τα προβλεπόμενα φύλλα. Σε ορισμένες στοίβες τα φύλλα που προορίζονται μπορεί να μην εμφανίζονται καθόλου, σε άλλα μπορεί να υπάρχουν δύο ή περισσότερα από αυτά, αλλά σε κάθε περίπτωση, τα φύλλα μαντεύονται από την εμφάνιση με ακρίβεια.

Γκάρντνερ Μάρτιν

"ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΑΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΥΣΤΗΡΙΑ"

Πρόλογος του συντάκτη στη ρωσική έκδοση

Αυτό είναι ένα κανονικό πλέγμα σκακιού 64 τετραγώνων. Μπροστά στα μάτια σας γίνονται αρκετές τομές και από τα μέρη που προκύπτουν γίνεται ένα ορθογώνιο, στο οποίο όμως υπάρχουν μόνο 63 κελιά!

Έχετε συλλάβει έναν αριθμό - έναν από αυτούς που είναι γραμμένοι στις κάρτες που είναι διάσπαρτες γύρω από το τραπέζι. Ο σύντροφός σας αγγίζει εναλλάξ τις κάρτες με έναν δείκτη και αυτή τη στιγμή γράφεις τον προγραμματισμένο αριθμό στον εαυτό σου και όταν φτάσεις στο τελευταίο γράμμα, ο δείκτης σταματά ακριβώς στον αριθμό σου!

Μαγικά κόλπα? Ναι, αν σας αρέσει? ή, καλύτερα να πούμε, πειράματα βασισμένα στα μαθηματικά, στις ιδιότητες των ψηφίων και των αριθμών, και μόνο με μια κάπως υπερβολική μορφή. Και για να κατανοήσουμε την ουσία αυτού ή εκείνου του πειράματος σημαίνει να κατανοήσουμε, αν και μικρή, αλλά ακριβή μαθηματική κανονικότητα.

Αυτά τα κρυμμένα μαθηματικά είναι που κάνουν το βιβλίο του Μάρτιν Γκάρντνερ ενδιαφέρον. Κρυφό - γιατί ως επί το πλείστον ο ίδιος ο συγγραφέας δεν διατυπώνει στη γλώσσα των μαθηματικών τους νόμους που διέπουν τα πειράματά του, περιοριζόμενος στην περιγραφή των ενεργειών του αποκαλυπτικού, του ρητού και του μυστικού. αλλά ο αναγνώστης που είναι εξοικειωμένος με τα στοιχεία της σχολικής άλγεβρας και της γεωμετρίας θα χαρεί αναμφίβολα να ανασκευάσει την αντίστοιχη αλγεβρική ή γεωμετρική ιδέα από τις εξηγήσεις του συγγραφέα. Ωστόσο, σε μερικές πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις (σημειωμένες με αριθμούς με παρένθεση), επιτρέψαμε στον εαυτό μας να συνοδεύσει την παρουσίαση του συγγραφέα με μικρές σημειώσεις που αποκαλύπτουν τη μαθηματική ουσία των κατασκευών του, αυτές οι σημειώσεις τοποθετούνται στο τέλος του βιβλίου.

Τα μαθηματικά κόλπα είναι μια πολύ περίεργη μορφή επίδειξης μαθηματικών προτύπων.

Εάν κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής παρουσίασης προσπαθούν για τη μεγαλύτερη δυνατή αποκάλυψη της ιδέας, τότε εδώ, για να επιτύχουν αποτελεσματικότητα και ψυχαγωγία, αντιθέτως, συγκαλύπτουν την ουσία του θέματος όσο το δυνατόν πιο έξυπνα. Γι' αυτό, αντί για αφηρημένους αριθμούς, χρησιμοποιούνται τόσο συχνά διάφορα αντικείμενα ή σύνολα αντικειμένων που σχετίζονται με αριθμούς: ντόμινο, αγώνες, ρολόγια, ημερολόγιο, νομίσματα, ακόμη και κάρτες (φυσικά, αυτή η χρήση των καρτών δεν έχει καμία σχέση με το ανούσιο χόμπι των τζογαδόρων· όπως επισημαίνει ο συγγραφέας, εδώ οι κάρτες θεωρούνται απλώς πανομοιότυπα αντικείμενα που είναι βολικό να μετρηθούν· οι εικόνες σε αυτές δεν παίζουν κανένα ρόλο σε αυτό - ").

Ελπίζουμε ότι το βιβλίο του Gardner θα ενδιαφέρει πολλούς αναγνώστες: νεαροί συμμετέχοντες σε σόλο μαθηματικούς κύκλους, ενήλικες «αποδιοργανωμένοι» ερασιτέχνες των μαθηματικών ή ίσως ένα ή άλλο από τα πειράματα που περιγράφονται εδώ θα ξυπνήσουν ένα χαμόγελο από έναν σοβαρό επιστήμονα σε σύντομο χρονικό διάστημα ξεκούραση από την πολλή δουλειά.

Όπως πολλά άλλα θέματα στη διασταύρωση δύο κλάδων, τα μαθηματικά μαγικά κόλπα δεν τυγχάνουν ιδιαίτερης προσοχής ούτε από μαθηματικούς ούτε από μάγους. Οι πρώτοι τείνουν να τις βλέπουν ως κενή διασκέδαση, οι δεύτεροι τις παραμελούν ως πολύ βαρετές. Τα μαθηματικά μαγικά κόλπα, ειλικρινά, δεν ανήκουν στην κατηγορία των μαγικών κόλπων που μπορούν να κρατήσουν μαγεμένο ένα κοινό από μη μαθηματικά εξελιγμένο κοινό. Τέτοια κόλπα είναι συνήθως χρονοβόρα και όχι πολύ αποτελεσματικά. Από την άλλη πλευρά, δεν υπάρχει σχεδόν κανένας άνθρωπος που πρόκειται να αντλήσει βαθιές μαθηματικές αλήθειες από τον στοχασμό του.

Κι όμως, τα μαθηματικά κόλπα, όπως το σκάκι, έχουν τη δική τους ιδιαίτερη γοητεία. Το σκάκι συνδυάζει τη χάρη της μαθηματικής κατασκευής με την ευχαρίστηση που μπορεί να φέρει το παιχνίδι. Στα μαθηματικά κόλπα, η κομψότητα των μαθηματικών κατασκευών συνδυάζεται με τη διασκέδαση. Δεν προκαλεί έκπληξη, επομένως, ότι προσφέρουν τη μεγαλύτερη ευχαρίστηση σε αυτόν που είναι ταυτόχρονα εξοικειωμένος και με τους δύο αυτούς τομείς.

Αυτό το βιβλίο είναι, απ' όσο γνωρίζω, η πρώτη απόπειρα επισκόπησης ολόκληρου του πεδίου της σύγχρονης μαθηματικής εστίασης. Το μεγαλύτερο μέρος του υλικού του βιβλίου προέρχεται από εξειδικευμένη λογοτεχνία αφιερωμένη σε μαγικά κόλπα και όχι από ψυχαγωγική μαθηματική λογοτεχνία. Για το λόγο αυτό, όσοι έχουν μελετήσει τη διασκεδαστική μαθηματική βιβλιογραφία αλλά δεν είναι εξοικειωμένοι με τη σύγχρονη εξειδικευμένη βιβλιογραφία για τα μαγικά κόλπα είναι πιθανό να βρουν σε αυτό το βιβλίο μια νέα περιοχή ψυχαγωγικής γνώσης - ένα νέο πλούσιο πεδίο, η ύπαρξη του οποίου μπορεί να έχουν πλήρη άγνοια.

Νέα Υόρκη, 1955

Μάρτιν Γκάρντνερ

Κεφάλαιο ένα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΣΤΙΑΣΗ ΜΕ ΚΑΡΤΕΣ

Τα τραπουλόχαρτα έχουν ορισμένες συγκεκριμένες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν όταν κάνετε κόλπα μαθηματικού χαρακτήρα. Θα απαριθμήσουμε πέντε τέτοια ακίνητα.

1. Οι κάρτες μπορούν να θεωρηθούν απλά ως πανομοιότυπα αντικείμενα που είναι βολικό να μετρηθούν. οι εικόνες πάνω τους δεν παίζουν κανένα ρόλο σε αυτό.

Θα μπορούσατε εξίσου να έχετε χρησιμοποιήσει βότσαλα, σπίρτα ή κομμάτια χαρτιού.

2. Στις κάρτες μπορούν να εκχωρηθούν αριθμητικές τιμές από το 1 έως το 13, ανάλογα με το τι απεικονίζεται στην μπροστινή τους πλευρά (σε αυτή την περίπτωση, το jack, το queen και το king λαμβάνονται ως 11, 12 και 13, αντίστοιχα)).

3. Μπορούν να χωριστούν σε τέσσερα κοστούμια ή μαύρες και κόκκινες κάρτες.

4. Κάθε κάρτα έχει ένα μπροστινό και ένα πίσω μέρος.

5. Οι κάρτες είναι συμπαγείς και ομοιόμορφες σε μέγεθος. Αυτό σας επιτρέπει να τα τακτοποιήσετε με διαφορετικούς τρόπους, ομαδοποιώντας σε σειρές ή κάνοντας στοίβες, κάτι που μπορεί εύκολα να απογοητευτεί αμέσως ανακατεύοντας απλά τις κάρτες.

Με τόσες πολλές δυνατότητες, τα κόλπα με κάρτες θα έπρεπε να υπάρχουν εδώ και πολύ καιρό και το μαθηματικό κόλπο με τις κάρτες είναι σίγουρα τόσο παλιό όσο και το ίδιο το παιχνίδι με κάρτες.

Η παλαιότερη συζήτηση για κόλπα με χαρτιά από έναν μαθηματικό φαίνεται να βρίσκεται στο διασκεδαστικό βιβλίο του Claud Gaspard Bachet Problemes plaisants et delectables, που δημοσιεύτηκε στη Γαλλία το 1612. Στη συνέχεια, αναφορές σε κόλπα με κάρτες εμφανίστηκαν σε πολλά βιβλία αφιερωμένα στη μαθηματική ψυχαγωγία.

Ο πρώτος και ίσως ο μοναδικός φιλόσοφος που καταδέχτηκε να σκεφτεί κόλπα με χαρτιά ήταν ο Αμερικανός Τσαρλς Πιρς. Σε ένα άρθρο του, παραδέχεται ότι το 1860 «επινόησε» αρκετά εξαιρετικά κόλπα με χαρτιά βασισμένα, χρησιμοποιώντας την ορολογία του, στην «κυκλική αριθμητική». Περιγράφει αναλυτικά δύο τέτοια κόλπα με την ονομασία «πρώτη περιέργεια» και «δεύτερες περιέργειες».

Η πρώτη περιέργεια βασίζεται στο θεώρημα του Fermat. Χρειάστηκαν 13 σελίδες για να περιγραφεί ακριβώς πώς αποδείχθηκε και 52 επιπλέον σελίδες για να εξηγηθεί η ουσία του. Και ενώ ο Peires αναφέρει "το συνεχές ενδιαφέρον και την έκπληξη του κοινού" που προκαλείται από την εστίασή του, το αποκορύφωμα αυτής της εστίασης φαίνεται τόσο άσχετο με την πολυπλοκότητα των προετοιμασιών που είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι το κοινό δεν αποκοιμήθηκε πολύ. πριν το τέλος του.

Οι λάτρεις των μαθηματικών παζλ θα βρουν σε αυτό το βιβλίο πολλά συναρπαστικά προβλήματα, διασκεδαστικά επεισόδια από την ιστορία της επιστήμης και μαθηματικά περιέργεια από τον εξαιρετικό εκλαϊκευτή Martin Gardner.

Τα μαθηματικά κόλπα είναι μια πολύ περίεργη μορφή επίδειξης μαθηματικών προτύπων.
Εάν κατά τη διάρκεια της εκπαιδευτικής παρουσίασης προσπαθούν για τη μεγαλύτερη δυνατή αποκάλυψη της ιδέας, τότε εδώ, για να επιτύχουν αποτελεσματικότητα και ψυχαγωγία, αντιθέτως, συγκαλύπτουν την ουσία του θέματος όσο το δυνατόν πιο έξυπνα. Γι' αυτό, αντί για αφηρημένους αριθμούς, χρησιμοποιούνται τόσο συχνά διάφορα αντικείμενα ή σύνολα αντικειμένων που σχετίζονται με αριθμούς: ντόμινο, αγώνες, ρολόγια, ημερολόγιο, νομίσματα, ακόμη και κάρτες (φυσικά, αυτή η χρήση των καρτών δεν έχει καμία σχέση με το ανούσιο χόμπι των τζογαδόρων· όπως επισημαίνει ο συγγραφέας, εδώ οι κάρτες θεωρούνται απλώς πανομοιότυπα αντικείμενα που είναι βολικό να μετρηθούν· οι εικόνες σε αυτές δεν παίζουν κανένα ρόλο σε αυτό - ").

Κατεβάστε και διαβάστε Μαθηματικά Θαύματα και Μυστήρια, Gardner M.

Νέοι γρίφοι, παιχνίδια, παράδοξα και άλλα μαθηματικά διασκεδαστικά από το περιοδικό Scientific American με πρόλογο του Donald Knuth, μετάλογο του συγγραφέα και 105 φιγούρες και διαγράμματα.

Καλώς ήρθατε στη μεγαλύτερη μαθηματική ιδέα στη Γη! Ο Μάρτιν Γκάρντνερ λειτουργεί και πάλι ως καταξιωμένος διασκεδαστής, εισάγοντας απλά προβλήματα σχετικά με τα σπίρτα και τους λογαριασμούς δολαρίων, καθώς και θεμελιώδη προβλήματα φυσικής, μαθηματικών, αστρονομίας και φιλοσοφίας. Όπως όλα τα βιβλία του M. Gardner, αυτή η έκδοση είναι τόσο προσβάσιμη στον ευρύτερο κύκλο αναγνωστών όσο και ενδιαφέρουσα για επαγγελματίες μαθηματικούς.

Κατεβάστε και διαβάστε Τα καλύτερα μαθηματικά παιχνίδια και παζλ, ή το πραγματικό τσίρκο μαθηματικών, M. Gardner, 2009

Τίτλος: Κλασικοί παζλ.

Όλοι οι γρίφοι σε αυτό το βιβλίο είναι του τύπου που ονομάζουμε «γρίφους συνολικής σκέψης» ή «αινίγματα καταστάσεων».